二进制：计算机的语言

作为信息技术开发人员，了解二进制是我们的基本功。二进制，就是基数为2的数字系统，在这个系统中只有0和1两个数字，所有其它数字都使用0和1的组合来表示，与我们日常使用的十进制有很大不同，在十进制中所有的数字是使用0到9这10个数字的组合来表示的。

位权

首先，让我们来看看位权的概念。在十进制中，从低位到高位（右边是低位），每一位的位权是10的0次方、10的1次方、10的2次方，以此类推，如1、10、100、1000等。而在二进制中，每一位的位权则是2的0次方、2的1次方、2的2次方，如1、2、4、8等。这个概念非常重要，因为它帮助我们理解了不同位置的数字所代表的权重。

正负数

接下来，我们谈谈正负数在二进制中的表示。正数的最高位为0，而负数的最高位为1。负数除了最高位的符号位外，其余部分是对应正数的反码加1，这种表示方法称为“补码”。

这里说下补码的概念，对于正数，其补码就是其本身；而对于负数，其补码是对应的正数按位取反得到的数值（即1变0，0变1）再加1。以-2为例，首先，我们看一下2的二进制表示，即00000010。然后按位取反，得到11111101，再对非符号位的部分加1，得到11111110，这就是-2在二进制中的表示。

一个非常有趣的点是，二进制中的减法可以通过加法来实现，比如2-2=2+(-2)，用二进制计算相加正好为0。这样计算机就可以用同样的硬件电路进行加法和减法运算，大大简化了经算计的硬件设计。

移位运算

然后，我们再看看移位运算。左移时，产生的空位用0填充；右移时，分为逻辑右移和算术右移，逻辑右移左侧空位用0填充，算术右移左侧空位用符号位填充。另外，当二进制数需要位数扩充时，左侧通常用符号位填充。

让我们通过一些具体的例子来理解移位运算及其意义。

• 左移运算：左移就是将二进制数的所有位向左移动。例如，如果我们有一个二进制数00001011（十进制中的11），我们可以对它进行左移运算。比如，让它左移一位，结果就是00010110（十进制中的22），右边多出来的位置用0填充。在这个例子中，你可以看到左移一位实际上等同于将原数乘以2。因此，左移运算可以用来高效地进行乘法计算。

• 右移运算：对于右移，我们有两种方式，逻辑右移和算术右移。

• • 逻辑右移：逻辑右移是将所有位向右移动，并用0填充左侧空位。例如，假设我们有一个二进制数00001011（十进制中的11），我们对它进行逻辑右移一位，结果就是00000101（十进制中的5）。逻辑右移实际上等同于将原数除以2（向下取整）。
• • 算术右移：算术右移也是将所有位向右移动，但是它会用符号位填充左侧空位。例如，假设我们有一个二进制数1111 1011（十进制中的-5），我们对它进行算术右移一位，结果就是11111101（十进制中的-3）。算术右移可以保留负数的符号，因此在处理有符号数的右移运算时，通常会使用算术右移。

• 位数扩充：当我们需要扩充一个二进制数的位数时，通常会用符号位来填充左侧。例如，我们有一个8位的二进制数10101010（最高位为符号位，1代表这是一个负数），如果我们需要将它扩充到16位，那么我们就在左侧添加8个1，结果就是1111111110101010。位数扩充通常用于处理不同位宽的数据，比如从一个8位系统升级到一个16位系统。

逻辑运算

再来说说逻辑运算，包括NOT（取反）、OR（有1取1，无1取0）、AND（全1取1，否则取0）和XOR（不同取1，相同取0）。这些运算在计算机内部被广泛使用，是计算机处理信息的基础。它们被用于实现各种算术运算，如加法、减法等，也被用于条件判断、循环控制等逻辑操作。此外，逻辑运算也是构建更复杂的电路结构，如加法器、乘法器等的基础。

举几个例子：

NOT运算（取反）：它只对一个二进制位进行操作。NOT运算会将1变为0，将0变为1。在计算机中，NOT运算常常用于改变二进制数的值，当我们想要将一个布尔值从真变为假，或者从假变为真时，就可以使用NOT运算。

OR运算（有1取1，无1取0）：输入两个运算数，对两个运算数中对应的两个二进制位进行操作。只要其中一个位是1，结果就是1，否则结果是0。例如，对两个二进制数1010和0011进行OR运算，结果为1011。在计算机中，OR运算常用于设置二进制数的特定位，当我们想要将一个数的某一位设置为1时，就可以使用OR运算。

AND运算（全1取1，否则取0）：输入两个运算数，只有两个运算数中对应的两个位都是1时，结果才是1，否则结果是0。例如，对二进制数1010和0011进行AND运算，结果为0010。在计算机中，AND运算常用于清除二进制数的特定位，当我们想要将一个数的某一位清除（设置为0）时，就可以使用AND运算。

XOR运算（不同取1，相同取0）：输入两个运算数，只有两个运算数中对应的两个位不同时，结果才是1，否则结果是0。例如，对二进制数1010和0011进行XOR运算，结果为1001。在计算机中，XOR运算常用于切换二进制数的特定位，当我们想要反转一个数的某一位时，就可以使用XOR运算。

小数表示

最后，我们谈谈小数的二进制表示。小数在二进制中表示时，通常由符号位、指数位和尾数位组成，这样可以节省空间，并可以表达很大的数。比如，32位单精度浮点数由1个符号位、8个指数位和23个尾数位组成。

小数的科学计数法表达方式为(+-)m*2的n次方，其中m是小数点前只有1个1的二进制小数。为了在指数位中去掉指数的符号位，取指数位的中间数为0，8位指数位的中间数是127，所以指数位可以表达-127至128的范围。

这里有个中间数的概念，简单介绍下：中间数是为了去掉指数位中的符号位，有时候也称为“偏移”。偏移是一种处理负数的方法，让我们可以使用全部的无符号二进制数来表示负数和正数。对于8位的指数位，中间数（偏移）是127。也就是说，我们将实际的指数值加上127，然后将结果存储在指数位中。

例如，如果我们想表示的指数是10，我们会在指数位中存储10+127=137。同样，如果我们想表示的指数是-10，我们会在指数位中存储-10+127=117。

因此，8位的指数位可以表示的范围是0到255（包括0和255）。但由于我们使用了127的偏移，所以实际的指数范围是-127到128。

在上边的例子使用符号位和偏移可以表示的指数范围是差不多的。我们可以再思考下为什么不使用符号位，而使用偏移？主要有以下几个原因：

• 简化浮点数的比较和排序：在偏移表示法中，较大的浮点数总是有较大的二进制表示。这意味着我们可以像比较无符号整数那样比较浮点数，而无需关心它们的符号位和大小。如果我们直接在指数位中使用符号位，那么比较和排序浮点数就会变得更复杂。

• 避免特殊情况：在IEEE 754标准中，当所有的指数位都为0或者都为1时，表示的是一些特殊的值，如无穷大、无穷小、NaN（Not a Number）等。如果我们直接在指数位中使用符号位，那么我们就需要找其他的方式来表示这些特殊的值。

• 避免浪费：如果我们在指数位中直接使用符号位，那么有一半的指数位值（即所有以1开头的值）将用于表示负指数，而另一半的值（即所有以0开头的值）将用于表示正指数。然而，在实际应用中，我们可能并不需要这么多的负指数。使用偏移表示法，我们可以根据实际需求来调整正指数和负指数的范围。

另外需要注意，某些小数用二进制表示时会无限循环，所以有限的位数会出现算不准的问题。

关于小数的完整详细介绍，可以看我另一篇文章：开发必备知识：浮点数的工作原理与使用注意事项)

以上就是对二进制基础知识的概述，希望能对各位开发的同学有所帮助。理解二进制，就像理解计算机的“语言”，会让我们在开发过程中更加得心应手。

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