1. 分形理论
1.1 分形的定义
分形，通常指一个几何形状，可以分成数个部分，而每一部分都近似地是整体缩小后的形状，即具有自相似的性质。
1.2 分形研究的历史
公元17世纪，莱布尼茨就思考过自相似的问题。公元18世纪卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔和费利克斯·豪斯多夫对连续而不可微函数的研究，对分形使用严格的数学处理。而近代分形热的形成离不开曼德波罗。1967年，法国裔数学家本华.曼德波罗注意到，如果用公里作为测量单位，从几米到几十米的一些曲折地段会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但一些厘米量级以下的曲折地段还是不能反映出来；进一步，从理论上来说，海边沙砾的下一个尺度是分子、原子，于是要使用更小数量级的尺度的话，得到的海岸线总长度就很不一样。因此，长度不是海岸线的与尺度无关的不变量。曼德波罗引进了“分数维图形”的新概念，建立了今天熟知的分形几何理论。1975 年开始， 他陆续出版了著作《分形：形状、机遇和维数》和《大自然的分形几何》。曼德波罗的书完全没有得到学术界应有的重视， 直到1982年后，才受到欧美社会的广泛关注，后来被分形学界视为“分形学之圣经”。
1.3 欧几里得几何与分形几何的比较
| 经典的（ 2000多年的历史 | 现代数学怪物（ 30多年的历史） |
| 基于特征长度与比例 | 无特征长度与比例 |
| 适合于人工制品 | 实用于大自然现象 |
| 用公式描述 | 用（递归或迭代）算法描述 |
| 图形规则 | 图形不规则 |
| 图形的结构层次有限 | 图形的结构层次无限 |
| 局部一般不具有整体的信息 | 局部往往具有整体的信息 |
| 图形越复杂，背后的规则也越复杂 | 图形复杂，其背后的规则经常是简单的 |
2. 理解分形
2.1 分形的测度维
一个维数为d的物体：度量单位变化为原来(frac{1}{r})后，物体个数增加为(r^d)。如果用对数表示，d为维数，r为度量放大倍数，k为体积放大倍数，那么$$d=log k/log r$$示例：
- 把线段放大两倍后，所得线段可以看成是2个原来的线段叠加而成
- 把正方形放大两倍后，所得正方形可以看成是(2^2)个原来的正方形叠加而成
- 把立方体放大两倍后，所得立方体可以看成是(2^3)个原来的立方体叠加而成。
2.2 Julia集和Mandelbrot集
考虑复变函数迭代 $$Z_{n+1} = {Z_n}^2+c, n=0,1,2……(1) $$固定复参数 c，使得迭代序列{(Z_n)}有界的初值(Z_0)在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即(J_c=) { (Z_0|迭代序列 ){(Z_n)}(有界 ) }固定初值(Z_0)，使得迭代序列（1）有界的参数c在复平面上的分布图形称为Mandelbrot集。即(J_c=) { (c|迭代序列 ){(Z_n)}(有界 ) }。记 $$Z=x+iy, c=p+iq$$则（1）变为$${x_{n+1}={x_n}^2-{y_n}^2+p \y_{n+1}=2x_ny_n+q}$$Julia 集的绘制方法：
还有一个有趣的定理：一个 Julia 集要么是完全连通的，任意两点间都有一条通路；要么是完全不连通的，整个图形全是一个个孤立的点。Mandelbrot集的绘制方法：算法上和Julia完全一样，只不过这时固定的是x,y值，初始值，而把c当做变量。Mandelbrot集内的每一个点就对应了一个连通的Julia集，Mandelbrot 集合外的点则对应了不连通的 Julia 集，Mandelbrot图是Julia的缩略图。由此想象，我们有x,y,p,q四个变量，任意限定其中两个，另外两个当做变量都可以得到不同的图形。如果把全部Julia集合起来，会得到一个四维图形。
3. 参考
- 维基百科-分形
- 再谈Julia集与Mandelbrot集
