浅谈慢速的二次算法与快速的 hashmap

大家好！昨天我与一位朋友聊天，他正在准备编程面试，并试图学习一些算法基础知识。

我们聊到了 二次时间 quadratic-time 与 线性时间 linear-time 算法的话题，我认为在这里写这篇文章会很有趣，因为避免二次时间算法不仅在面试中很重要——有时在现实生活中了解一下也是很好的！后面我会快速解释一下什么是“二次时间算法” 🙂

以下是我们将要讨论的 3 件事：

我会尽量避免使用数学术语，重点关注真实的代码示例以及它们到底有多快/多慢。

目标问题：取两个列表的交集

我们来讨论一个简单的面试式问题：获取 2 个数字列表的交集。 例如，intersect([1,2,3], [2,4,5]) 应该返回 [2]。

这个问题也是有些现实应用的——你可以假设有一个真实程序，其需求正是取两个 ID 列表的交集。

“显而易见”的解决方案：

我们来写一些获取 2 个列表交集的代码。下面是一个实现此需求的程序，命名为 quadratic.py。

import sys

# 实际运行的代码
def intersection(list1, list2):
    result = []
    for x in list1:
        for y in list2:
            if x == y:
                result.append(y)
    return result

# 一些样板，便于我们从命令行运行程序，处理不同大小的列表
def run(n):
    # 定义两个有 n+1 个元素的列表
    list1 = list(range(3, n)) + [2]
    list2 = list(range(n+1, 2*n)) + [2]
    # 取其交集并输出结果
    print(list(intersection(list1, list2)))

# 使用第一个命令行参数作为输入，运行程序
run(int(sys.argv[1]))

程序名为 quadratic.py（LCTT 译注：“quadratic”意为“二次方的”）的原因是：如果 list1 和 list2 的大小为 n，那么内层循环（if x == y）会运行 n^2 次。在数学中，像 x^2 这样的函数就称为“二次”函数。

quadratic.py 有多慢？

用一些不同长度的列表来运行这个程序，两个列表的交集总是相同的：[2]。

$ time python3 quadratic.py 10
[2]

real    0m0.037s
$ time python3 quadratic.py 100
[2]

real    0m0.053s
$ time python3 quadratic.py 1000
[2]

real    0m0.051s
$ time python3 quadratic.py 10000 # 10,000
[2]

real    0m1.661s

到目前为止，一切都还不错——程序仍然只花费不到 2 秒的时间。

然后运行该程序处理两个包含 100,000 个元素的列表，我不得不等待了很长时间。结果如下：

$ time python3 quadratic.py 100000 # 100,000
[2]

real    2m41.059s

这可以说相当慢了！总共花费了 160 秒，几乎是在 10,000 个元素上运行时（1.6 秒）的 100 倍。所以我们可以看到，在某个点之后，每次我们将列表扩大 10 倍，程序运行的时间就会增加大约 100 倍。

我没有尝试在 1,000,000 个元素上运行这个程序，因为我知道它会花费又 100 倍的时间——可能大约需要 3 个小时。我没时间这样做！

你现在大概明白了为什么二次时间算法会成为一个问题——即使是这个非常简单的程序也会很快变得非常缓慢。

快速版：linear.py

好，接下来我们编写一个快速版的程序。我先给你看看程序的样子，然后再分析。

import sys

# 实际执行的算法
def intersection(list1, list2):
    set1 = set(list1) # this is a hash set
    result = []
    for y in list2:
        if y in set1:
            result.append(y)
    return result

# 一些样板，便于我们从命令行运行程序，处理不同大小的列表
def run(n):
    # 定义两个有 n+1 个元素的列表
    list1 = range(3, n) + [2]
    list2 = range(n+1, 2*n) + [2]
    # 输出交集结果
    print(intersection(list1, list2))

run(int(sys.argv[1]))

（这不是最惯用的 Python 使用方式，但我想在尽量避免使用太多 Python 思想的前提下编写代码，以便不了解 Python 的人能够更容易理解）

这里我们做了两件与慢速版程序不同的事：

看看 linear.py 程序有多快

在讨论 为什么 这个程序快之前，我们先在一些大型列表上运行该程序，以此证明它确实是很快的。此处演示该程序依次在大小为 10 到 10,000,000 的列表上运行的过程。（请记住，我们上一个的程序在 100,000 个元素上运行时开始变得非常非常慢）

$ time python3 linear.py 100

[2]

real    0m0.056s

$ time python3 linear.py 1000

[2]
real    0m0.036s

$ time python3 linear.py 10000 # 10,000

[2]
real    0m0.028s

$ time python3 linear.py 100000 # 100,000

[2]
real    0m0.048s